М.А.Масыч
Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ
Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005

1.6. Реальная ставка доходности с учетом инфляции и налогообложения

Инфляция — это снижение реальной покупательной способности денег. В чисто финансовых расчетах, где фигурируют только изменения номинальных денежных сумм, этот фактор не учитывается. В реальности далеко не всякая ставка доходности может привлечь внимание инвесторов. Очевидно, что при темпе инфляции 50% в год едва ли кто будет вкладывать деньги под меньший процент. Такое интуитивное понимание ситуации следует дополнить количественным анализом, призванным ответить на вопрос: какова же реальная доходность инвестиций с учетом темпов инфляции?

Прежде всего, необходимо ввести измеритель уровня и темпов инфляции. Стоимость инвестиций и уровня доходов разных лет может быть сопоставима только в том случае, если стоимость денежной единицы не изменяется. Уровень инфляции выражается в виде индекса цен. Индекс цен является измерителем соотношения между совокупной ценой определенного набора товаров и услуг, называемых «рыночной корзиной», для данного временного периода и совокупной ценой идентичной либо сходной группы товаров и услуг в базовом периоде:

федеральное правительство США рассчитывает индексы различных наборов, или «корзин», товаров и услуг. Наиболее известный из них — индекс потребительских цен (ИПЦ) — цена фиксированной корзины, содержащей 300 потребительских товаров и услуг, покупаемых типичным горожанином. Индекс цен валового национального продукта, или дефлятор ВНП, включает не только цены потребительских товаров и услуг, но также и цены инвестиционных товаров, товаров, покупаемых правительством, а также товаров и услуг, купленных и проданных на мировом рынке. В зависимости от характера задачи используется тот или иной индекс цен.

Темпом инфляции за определенный период Т называют относительное изменение индекса цен за этот период

(1.5.2)

где Jр (0), Jр (Т) — индексы цен в начале и в конце периода.

Если известны индекс цен в начале периода и прогнозируемый темп инфляции за период, то можно вычислить ожидаемый индекс цен в конце периода:

(1.5.3)

Полученное значение индекса цен будет исходным для вычислений в следующем периоде:

(1.5.4)

По прошествии т периодов индекс цен будет равен

(1.5.5)

Темп инфляции за этот интервал времени в соответствии (1.5.2) равен

Из формулы (1.5.5) видно, что возрастание индекса цен аналогично наращению денежных сумм по закону сложных процентов. Если известен темп инфляции за какую-либо l/m-ю часть года, то годовой темп инфляции в соответствии с (1.5.6) определяется формулой

(1.5.7)

Реальная ставка доходности и инфляционная премия

Инфляционное обесценение денег существенно снижает реальную доходность финансовой операции. Под реальной доходностью финансовой операции мы понимаем относительное приращение за период Т реальной покупательной способности С денежной суммы, равной отношению этой суммы к индексу цен в данный момент времени:

(1.5.8)

где S(t) — денежная сумма в момент времени t.

Покупательная способность наращенной за период суммы Р равна

Подставляя это выражение в (1.5.8), получим формулу, выражающую реальную доходность через процентную ставку и темп инфляции:

Если период Т равен одному году, то нижний индекс у переменных опускают: h — годовой темп инфляции, r — реальная годовая ставка доходности.

Формула (1.5.9) опровергает распространенное заблуждение, что будто бы для получения реальной ставки доходности достаточно из процентной ставки вычесть темп инфляции; это справедливо только при очень малой величине темпа инфляции, когда величиной h в знаменателе можно пренебречь по сравнению с единицей.

Формула (1.5.9) удобна для демонстрации снижения доходности инвестиций в условиях инфляции, показывающей вели чину реальной доходности при заданной процентной ставке. На практике же обычно задаются минимальной приемлемой для инвестора величиной реальной доходности (барьерной ставкой) r, исходя из которой определяют минимальную процентную ставку i, под которую еще имеет смысл инвестировать средства:

(1.5.10)

Формула (1.5.10) носит название формулы Фишера. Вторе слагаемое в правой части этой формулы – величина, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина носит название инфляционной премии. Пусть барьерная ставка равна 15% годовых при темпе инфляции, определенном в примере 1.5.2 тогда приемлемая величина процентной ставки будет равна 0,15+0,426х(1+0,15)=0,64 (64%). Из примера 1.5.2 видно, что реальная ставка доходности почти в 5 раз ниже годовой процентной ставки – впечатляющий результат!

Реальная ставка доходности с учетом налога

Вопрос о налогообложении прибыли от инвестирования средств приобретает особую важность, ведь налог начисляется не с реального дохода, а с номинального, равного приращению денежной суммы, и величина налога может оказаться больше реального дохода! Пусть ставка налога на прибыль равна g тогда чистая прибыль, т.е. прибыль после уплаты налога, равна iP-iPg=Pi(1-g). Отсюда видно, что учет налога на прибыль сводится к замене процентной ставки i на ставку ig=i/(l-g).

Формула для реальной доходности с учетом налога на прибыль примет вид

Учет по сложной ставке процентов

Как и в случае простых процентов рассмотрим два вида учета — математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения из нее найдем Р:

где

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то

где

дисконтный множитель.

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S.

Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Разность D = S — P называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

где dcл. — сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае определяется:

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Лилия Тимофеевна ГиляровскаяПрофессор, доктор экономических наук, заведующая кафедрой бухгалтерского учета и анализа хозяйственной деятельности Всероссийского заочного финансово-экономического института
© Элитариум — Центр дистанционного образования

Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.

Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.

В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.

Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:

I = S0 * (1 + it),

где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.

Исходная сумма может быть рассчитана как

S0= I / (1 + it)

При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм

i = (I / S0 — 1) * (1 / t)

Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.

В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.

I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.

На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:

S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.

i = (3900 / 3000 — 1) * (1 / 1,5) = 0,2 (20%)

Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит

I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.

Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:

I = S0 / (1 — it) = 10000 / (1 – 0,2 * 0,5) = 11111 руб.

Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.

Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:

V = 1 – d(it) = S0 / I

Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.

И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:

S0 = I / (1 + i * t)

Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.

Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.

Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.

Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.

Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:

S(1)1 + S(1)2 = S(2)1 + S(2)2

где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;

S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:

S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.

Отсюда X руб. = (7500 + 3200 — 5384,6) * 1,9 = 10099,3 руб.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i)t. Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:

St = S0 * (1 + i)t

где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); St — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит

St = 100000 руб. * (1 + 0,3)2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3)4 = 285610 руб.

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.

В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:

St = S0 / (1 + i/m)tm

Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит

St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4)2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075)8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.

При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.

При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.

В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.

Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны

(1 + iэф)t = (1+im/m)mt

Отсюда эффективная ставка составит

iэф = (1+ im/m)mt – 1

Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.

iэф = (1+0,2/4)4 – 1 = 0,2155 = 21,55%

Наращенная сумма при этом составит

St = S0 * (1 + iэф)t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.

При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:

St = S0 / (1+ im/m)tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4)4 = 300 * (1,5)4 = 364,65 тыс.руб.

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм

Sинф = S0 * (1 + im/m)t / (1 + h)t

где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; im — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S0). Номинальная годовая банковская ставка (im) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (Sинф – S0):

Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12)4 / (1+0,1)4 = 639,2 тыс.руб.

Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.

Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.

В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.

Версия для печати

Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.

Простые проценты

2.2 Вычисление наращиваемых сумм на основе простых процентных ставок

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления(date of maturity,dlue date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга(principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит то вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 год) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов(simple interest) примем обозначения:

I — проценты за весь срок ссуды;

P — первоначальная сума долга;

S — наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;

i — ставка наращения процента (десятичная дробь);

n — срок суды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то обозначает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме . Начисленные за весь срок проценты составят

Наращенная сумма, таким образом, находится как