Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Запомните!

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
• заменить отрицательную степень на положительную;
• возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a−n =

,где a ≠ 0, n ∈ z (n принадлежит целым числам).

Примеры возведения в отрицательную степень.

• 6−2 =

  =

• (−3)−3 =

  (−3)3

  =

  −27

  = −

• 0,2−2 =

  0,22

  =

  0,04

Запомните!

Любое число в нулевой степени — единица.

a0 = 1 ,где a ≠ 0

Примеры возведения в нулевую степень.

• (

  )0 = 1

• (−5)0 = 1
• d0 = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

10−1 = 0,1

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему «10» в минус первой степени равно «0,1».

Возведем «10−1» по правилам отрицательной степени. Перевернем «10» и запишем её в виде дроби «

» и заменим отрицательную степень «−1» на
положительную степень «1». 10−1 =

Возведем «10» в «1» степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10−1 =

=

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10−1 =

=

= 0,1

По такому же принципу можно найти «10» в минус второй, третьей и т.д.

10−2 = 0,01
10−3 = 0,001
10−4 = 0,0001 Запомните!

Для упрощения перевода «10» в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один».

Проверим правило выше для «10−2».

Т.к. у нас степень «−2», значит, будет всего один ноль (положительное значение степени «2 − 1 = 1». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним «1».

10−2 = 0,01

Рассмотрим «10−1».

Т.к. у нас степень «−1», значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени «1 − 1 = 0». Сразу после запятой ставим «1».

10−1 = 0,1

То же самое правило работает и для «10−12». При переводе в десятичную дробь будет «12 − 1 = 11 » нулей и «1» в конце.

10−12 = 0,000 000 000 001

Как возвести в отрицательную степень дробь

Запомните!

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» дробь;
• заменить отрицательную степень на положительную;
• возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

)−3 = Перевернем дробь «

» и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3». (

)−3 = (

)3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

(

)−3 = (

)3 =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

)−3 = (

)3 =

=

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.

Пример.

(−5) −2 =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень «−2»
на положительную «2».

(−5) −2 = (−

) 2 =

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будет положительный. Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель «1»,
и знаменатель «5».

(−5) −2 = (−

) 2 =

=

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Запомните!

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная.

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь «(−

)» в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

(−

) −3 = (−

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель «2» в третью степень.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения будет положительным.

(−

) −2 = (−

) 2 =

=

= 1

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

• am · an = am + n

• = am − n

• (an)m = an · m
• (a · b)n = an · bn

Примеры решений заданий с отрицательной степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a6 · b6 = (ab)6
4) (c5)2 = c10

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

1)

= 4−5
2)

= a−9

Колягин 9 класс. Задание № 11

Вычислить.